Розв'яжіть 3x^2+14x-40

$$3 { x }^{ 2 } +14x-40$$

Розкласти на множники

$$\left(x-2\right)\left(3x+20\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 3x^{2}+ax+bx-40. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=14 ab=3\left(-40\right)=-120$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 14.

$$a=-6 b=20$$

Перепишіть 3x^{2}+14x-40 як \left(3x^{2}-6x\right)+\left(20x-40\right).

$$\left(3x^{2}-6x\right)+\left(20x-40\right)$$

3x на першій та 20 в друге групу.

$$3x\left(x-2\right)+20\left(x-2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-2\right)\left(3x+20\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+14x-40=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-40\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть 14 до квадрата.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-40\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-40\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -40.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+480}}{2\times 3}$$

Додайте 196 до 480.

$$x=\frac{-14±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 676.

$$x=\frac{-14±26}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{-14±26}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-14±26}{6} за додатного значення ±. Додайте -14 до 26.

$$x=\frac{12}{6}$$

Розділіть 12 на 6.

$$x=2$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-14±26}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 26 від -14.

$$x=-\frac{40}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-40}{6} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{20}{3}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 2 на x_{1} та -\frac{20}{3} на x_{2}.

$$3x^{2}+14x-40=3\left(x-2\right)\left(x-\left(-\frac{20}{3}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$3x^{2}+14x-40=3\left(x-2\right)\left(x+\frac{20}{3}\right)$$

Щоб додати \frac{20}{3} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$3x^{2}+14x-40=3\left(x-2\right)\times \frac{3x+20}{3}$$

Відкиньте 3, тобто найбільший спільний дільник для 3 й 3.

$$3x^{2}+14x-40=\left(x-2\right)\left(3x+20\right)$$

Обчислити

$$\left(x-2\right)\left(3x+20\right)$$