Розв'яжіть 3x^2+11x+8=0

$$3 { x }^{ 2 } +11x+8=0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$x=-1$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3x^{2}+ax+bx+8. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=11 ab=3\times 8=24$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 11.

$$a=3 b=8$$

Перепишіть 3x^{2}+11x+8 як \left(3x^{2}+3x\right)+\left(8x+8\right).

$$\left(3x^{2}+3x\right)+\left(8x+8\right)$$

3x на першій та 8 в друге групу.

$$3x\left(x+1\right)+8\left(x+1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x+1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x+1\right)\left(3x+8\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x+1=0 та 3x+8=0.

$$x=-1 x=-\frac{8}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}+11x+8=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, 11 замість b і 8 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Піднесіть 11 до квадрата.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\times 8}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на 8.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-96}}{2\times 3}$$

Додайте 121 до -96.

$$x=\frac{-11±\sqrt{25}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 25.

$$x=\frac{-11±5}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{-11±5}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-11±5}{6} за додатного значення ±. Додайте -11 до 5.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Розділіть -6 на 6.

$$x=-1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-11±5}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 5 від -11.

$$x=-\frac{16}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-16}{6} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-1 x=-\frac{8}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+11x+8=0$$

Відніміть 8 від обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}+11x+8-8=-8$$

Якщо відняти 8 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}+11x=-8$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=-\frac{8}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-\frac{8}{3}$$

Поділіть \frac{11}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{11}{6}. Потім додайте \frac{11}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{11}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{8}{3}+\frac{121}{36}$$

Щоб додати -\frac{8}{3} до \frac{121}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{25}{36}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{5}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{5}{6}$$

Відніміть \frac{11}{6} від обох сторін цього рівняння.

$$x=-1 x=-\frac{8}{3}$$