Розв'яжіть 2x-3=x^2+3x+5

$$2x-3 = { x }^{ 2 } +3x+5$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{2}\approx -0,5-2,783882181i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{2}\approx -0,5+2,783882181i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$2x-3-x^{2}=3x+5$$

Відніміть 3x з обох сторін.

$$2x-3-x^{2}-3x=5$$

Додайте 2x до -3x, щоб отримати -x.

$$-x-3-x^{2}=5$$

Відніміть 5 з обох сторін.

$$-x-3-x^{2}-5=0$$

Відніміть 5 від -3, щоб отримати -8.

$$-x-8-x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}-x-8=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, -1 замість b і -8 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-8\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-8\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на -8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-32}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 1 до -32.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-31}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -31.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{31}i}{2\left(-1\right)}$$

Число, протилежне до -1, дорівнює 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{31}i}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{31}i}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±\sqrt{31}i}{-2} за додатного значення ±. Додайте 1 до i\sqrt{31}.

$$x=\frac{1+\sqrt{31}i}{-2}$$

Розділіть 1+i\sqrt{31} на -2.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±\sqrt{31}i}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{31} від 1.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i+1}{-2}$$

Розділіть 1-i\sqrt{31} на -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$2x-3-x^{2}=3x+5$$

Відніміть 3x з обох сторін.

$$2x-3-x^{2}-3x=5$$

Додайте 2x до -3x, щоб отримати -x.

$$-x-3-x^{2}=5$$

Додайте 3 до обох сторін.

$$-x-x^{2}=5+3$$

Додайте 5 до 3, щоб обчислити 8.

$$-x-x^{2}=8$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-x=8$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{8}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{8}{-1}$$

Розділіть -1 на -1.

$$x^{2}+x=\frac{8}{-1}$$

Розділіть 8 на -1.

$$x^{2}+x=-8$$

Поділіть 1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{2}. Потім додайте \frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-8+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-8+\frac{1}{4}$$

Додайте -8 до \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{31}{4}$$

Розкладіть x^{2}+x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{31}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{31}i}{2}$$

Відніміть \frac{1}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{2} x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{2}$$