Розв'яжіть 2x-2x^2=12

$$2x-2 { x }^{ 2 } = 12$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}\approx 0,5+2,397915762i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}\approx 0,5-2,397915762i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-2x^{2}+2x=12$$

Відніміть 12 від обох сторін цього рівняння.

$$-2x^{2}+2x-12=12-12$$

Якщо відняти 12 від самого себе, залишиться 0.

$$-2x^{2}+2x-12=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -2 замість a, 2 замість b і -12 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-2\right)\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Піднесіть 2 до квадрата.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-2\right)\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте -4 на -2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+8\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 8 на -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-96}}{2\left(-2\right)}$$

Додайте 4 до -96.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-92}}{2\left(-2\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -92.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 2 на -2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4} за додатного значення ±. Додайте -2 до 2i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{23}i}{-4}$$

Розділіть -2+2i\sqrt{23} на -4.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{23} від -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{23}i-2}{-4}$$

Розділіть -2-2i\sqrt{23} на -4.

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+2x=12$$

Розділіть обидві сторони на -2.

$$\frac{-2x^{2}+2x}{-2}=\frac{12}{-2}$$

Ділення на -2 скасовує множення на -2.

$$x^{2}+\frac{2}{-2}x=\frac{12}{-2}$$

Розділіть 2 на -2.

$$x^{2}-x=\frac{12}{-2}$$

Розділіть 12 на -2.

$$x^{2}-x=-6$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-6+\frac{1}{4}$$

Додайте -6 до \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{23}{4}$$

Розкладіть x^{2}-x+\frac{1}{4} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{23}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{23}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{23}i}{2}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2} x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}$$