Розв'яжіть 2x+1=4x^2+4x+5

$$2x+1=4 { x }^{ 2 } +4x+5$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}\approx -0,25+0,968245837i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}\approx -0,25-0,968245837i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Відніміть 4x^{2} з обох сторін.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Відніміть 4x з обох сторін.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Додайте 2x до -4x, щоб отримати -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Відніміть 5 з обох сторін.

$$-2x+1-4x^{2}-5=0$$

Відніміть 5 від 1, щоб отримати -4.

$$-2x-4-4x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-4x^{2}-2x-4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -4 замість a, -2 замість b і -4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Помножте -4 на -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Помножте 16 на -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-64}}{2\left(-4\right)}$$

Додайте 4 до -64.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-60}}{2\left(-4\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Помножте 2 на -4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} за додатного значення ±. Додайте 2 до 2i\sqrt{15}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{15}i}{-8}$$

Розділіть 2+2i\sqrt{15} на -8.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{15} від 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i+2}{-8}$$

Розділіть 2-2i\sqrt{15} на -8.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Відніміть 4x^{2} з обох сторін.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Відніміть 4x з обох сторін.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Додайте 2x до -4x, щоб отримати -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Відніміть 1 з обох сторін.

$$-2x-4x^{2}=5-1$$

Відніміть 1 від 5, щоб отримати 4.

$$-2x-4x^{2}=4$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}-2x=4$$

Розділіть обидві сторони на -4.

$$\frac{-4x^{2}-2x}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Ділення на -4 скасовує множення на -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-4}\right)x=\frac{4}{-4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-2}{-4} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{4}{-4}$$

Розділіть 4 на -4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-1$$

Поділіть \frac{1}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{4}. Потім додайте \frac{1}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

Додайте -1 до \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Відніміть \frac{1}{4} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$