Розв'яжіть 29x^2+8x+7=0

$$29 x ^ { 2 } + 8 x + 7 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}\approx -0,137931034+0,471544632i$$

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}\approx -0,137931034-0,471544632i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 29 замість a, 8 замість b і 7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

Піднесіть 8 до квадрата.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

Помножте -4 на 29.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-116\times 7}}{2\times 29}$$

Помножте -116 на 7.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-812}}{2\times 29}$$

Додайте 64 до -812.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-748}}{2\times 29}$$

Видобудьте квадратний корінь із -748.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{2\times 29}$$

Помножте 2 на 29.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58} за додатного значення ±. Додайте -8 до 2i\sqrt{187}.

$$x=\frac{-8+2\sqrt{187}i}{58}$$

Розділіть -8+2i\sqrt{187} на 58.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{187} від -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{187}i-8}{58}$$

Розділіть -8-2i\sqrt{187} на 58.

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

Відніміть 7 від обох сторін цього рівняння.

$$29x^{2}+8x+7-7=-7$$

Якщо відняти 7 від самого себе, залишиться 0.

$$29x^{2}+8x=-7$$

Розділіть обидві сторони на 29.

$$\frac{29x^{2}+8x}{29}=-\frac{7}{29}$$

Ділення на 29 скасовує множення на 29.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x=-\frac{7}{29}$$

Поділіть \frac{8}{29} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{4}{29}. Потім додайте \frac{4}{29} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{7}{29}+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{4}{29} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{7}{29}+\frac{16}{841}$$

Щоб додати -\frac{7}{29} до \frac{16}{841}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{187}{841}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{187}{841}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{187}{841}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{4}{29}=\frac{\sqrt{187}i}{29} x+\frac{4}{29}=-\frac{\sqrt{187}i}{29}$$

Відніміть \frac{4}{29} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$