Розв'яжіть 28k^2+k+1=0

$$28 k ^ { 2 } + k + 1 = 0$$

Знайдіть k

$$k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56}\approx -0,017857143+0,188136674i$$

$$k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}\approx -0,017857143-0,188136674i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$28k^{2}+k+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 28 замість a, 1 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 28}}{2\times 28}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 28}}{2\times 28}$$

Помножте -4 на 28.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-112}}{2\times 28}$$

Додайте 1 до -112.

$$k=\frac{-1±\sqrt{-111}}{2\times 28}$$

Видобудьте квадратний корінь із -111.

$$k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{2\times 28}$$

Помножте 2 на 28.

$$k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{56}$$

Тепер розв’яжіть рівняння k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{56} за додатного значення ±. Додайте -1 до i\sqrt{111}.

$$k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56}$$

Тепер розв’яжіть рівняння k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{56} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{111} від -1.

$$k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56} k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$28k^{2}+k+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$28k^{2}+k+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$28k^{2}+k=-1$$

Розділіть обидві сторони на 28.

$$\frac{28k^{2}+k}{28}=-\frac{1}{28}$$

Ділення на 28 скасовує множення на 28.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=-\frac{1}{28}$$

Поділіть \frac{1}{28} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{56}. Потім додайте \frac{1}{56} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{56} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{3136}$$

Щоб додати -\frac{1}{28} до \frac{1}{3136}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=-\frac{111}{3136}$$

Розкладіть k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}=-\frac{111}{3136}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{111}{3136}}$$

Виконайте спрощення.

$$k+\frac{1}{56}=\frac{\sqrt{111}i}{56} k+\frac{1}{56}=-\frac{\sqrt{111}i}{56}$$

Відніміть \frac{1}{56} від обох сторін цього рівняння.

$$k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56} k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}$$