Розв'яжіть 27x^2-12x-4

$$27 x ^ { 2 } - 12 x - 4$$

Розкласти на множники

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 27x^{2}+ax+bx-4. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-12 ab=27\left(-4\right)=-108$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -12.

$$a=-18 b=6$$

Перепишіть 27x^{2}-12x-4 як \left(27x^{2}-18x\right)+\left(6x-4\right).

$$\left(27x^{2}-18x\right)+\left(6x-4\right)$$

9x на першій та 2 в друге групу.

$$9x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$27x^{2}-12x-4=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 27\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

Піднесіть -12 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 27\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

Помножте -4 на 27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-108\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

Помножте -108 на -4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 27}$$

Додайте 144 до 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 27}$$

Видобудьте квадратний корінь із 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 27}$$

Число, протилежне до -12, дорівнює 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 27}$$

Помножте 2 на 27.

$$x=\frac{12±24}{54}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{12±24}{54} за додатного значення ±. Додайте 12 до 24.

$$x=\frac{36}{54}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 18, щоб звести дріб \frac{36}{54} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{2}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{12±24}{54} за від’ємного значення ±. Відніміть 24 від 12.

$$x=-\frac{12}{54}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-12}{54} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{2}{9}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{2}{3} на x_{1} та -\frac{2}{9} на x_{2}.

$$27x^{2}-12x-4=27\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{9}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$27x^{2}-12x-4=27\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{2}{9}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{2}{3}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{3x-2}{3}\left(x+\frac{2}{9}\right)$$

Щоб додати \frac{2}{9} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{3x-2}{3}\times \frac{9x+2}{9}$$

Щоб помножити \frac{3x-2}{3} на \frac{9x+2}{9}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)}{3\times 9}$$

Помножте 3 на 9.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)}{27}$$

Відкиньте 27, тобто найбільший спільний дільник для 27 й 27.

$$27x^{2}-12x-4=\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

Обчислити

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$