Розв'яжіть 27c^2-27c-22>0

$$27 c ^ { 2 } - 27 c - 22 > 0$$

Знайти c

$$c\in \left(-\infty,-\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2},\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$27c^{2}-27c-22=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 27 на a, -27 – на b, а -22 – на c.

$$c=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 27\left(-22\right)}}{2\times 27}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$c=\frac{27±3\sqrt{345}}{54}$$

Розв’яжіть рівняння c=\frac{27±3\sqrt{345}}{54} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$c=\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2} c=-\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$27\left(c-\left(\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}\right)\right)\left(c-\left(-\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}\right)\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, c-\left(\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}\right) і c-\left(-\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}\right) мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли c-\left(\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}\right) і c-\left(-\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}\right) від’ємні.

$$c-\left(\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}\right)<0 c-\left(-\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}\right)<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: c<-\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}.

$$c<-\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}$$

Розглянемо випадок, коли c-\left(\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}\right) і c-\left(-\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}\right) додатні.

$$c-\left(-\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}\right)>0 c-\left(\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}\right)>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: c>\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}.

$$c>\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$c<-\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}\text{; }c>\frac{\sqrt{345}}{18}+\frac{1}{2}$$