Розв'яжіть 27x^2+59x-21=0

$$27 { x }^{ 2 } +59x-21=0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54}\approx 0,311521488$$

$$x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}\approx -2,496706673$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$27x^{2}+59x-21=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 27 замість a, 59 замість b і -21 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\times 27\left(-21\right)}}{2\times 27}$$

Піднесіть 59 до квадрата.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481-4\times 27\left(-21\right)}}{2\times 27}$$

Помножте -4 на 27.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481-108\left(-21\right)}}{2\times 27}$$

Помножте -108 на -21.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481+2268}}{2\times 27}$$

Додайте 3481 до 2268.

$$x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{2\times 27}$$

Помножте 2 на 27.

$$x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{54}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{54} за додатного значення ±. Додайте -59 до \sqrt{5749}.

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{54} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{5749} від -59.

$$x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54} x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$27x^{2}+59x-21=0$$

Додайте 21 до обох сторін цього рівняння.

$$27x^{2}+59x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Якщо відняти -21 від самого себе, залишиться 0.

$$27x^{2}+59x=-\left(-21\right)$$

Відніміть -21 від 0.

$$27x^{2}+59x=21$$

Розділіть обидві сторони на 27.

$$\frac{27x^{2}+59x}{27}=\frac{21}{27}$$

Ділення на 27 скасовує множення на 27.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x=\frac{21}{27}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{21}{27} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x=\frac{7}{9}$$

Поділіть \frac{59}{27} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{59}{54}. Потім додайте \frac{59}{54} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x+\left(\frac{59}{54}\right)^{2}=\frac{7}{9}+\left(\frac{59}{54}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{59}{54} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x+\frac{3481}{2916}=\frac{7}{9}+\frac{3481}{2916}$$

Щоб додати \frac{7}{9} до \frac{3481}{2916}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x+\frac{3481}{2916}=\frac{5749}{2916}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{59}{27}x+\frac{3481}{2916} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{59}{54}\right)^{2}=\frac{5749}{2916}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{59}{54}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5749}{2916}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{59}{54}=\frac{\sqrt{5749}}{54} x+\frac{59}{54}=-\frac{\sqrt{5749}}{54}$$

Відніміть \frac{59}{54} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54} x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}$$