Розв'яжіть 27x^2+33x-120=0

$$27 { x }^{ 2 } +33x-120=0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{18} \approx 1,583860696$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}\approx -2,806082918$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 27 замість a, 33 замість b і -120 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Піднесіть 33 до квадрата.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Помножте -4 на 27.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-108\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Помножте -108 на -120.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 27}$$

Додайте 1089 до 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 27}$$

Видобудьте квадратний корінь із 14049.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 27}$$

Помножте 2 на 27.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54} за додатного значення ±. Додайте -33 до 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Розділіть -33+3\sqrt{1561} на 54.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54} за від’ємного значення ±. Відніміть 3\sqrt{1561} від -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Розділіть -33-3\sqrt{1561} на 54.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Додайте 120 до обох сторін цього рівняння.

$$27x^{2}+33x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Якщо відняти -120 від самого себе, залишиться 0.

$$27x^{2}+33x=-\left(-120\right)$$

Відніміть -120 від 0.

$$27x^{2}+33x=120$$

Розділіть обидві сторони на 27.

$$\frac{27x^{2}+33x}{27}=\frac{120}{27}$$

Ділення на 27 скасовує множення на 27.

$$x^{2}+\frac{33}{27}x=\frac{120}{27}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{33}{27} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{120}{27}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{120}{27} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{40}{9}$$

Поділіть \frac{11}{9} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{11}{18}. Потім додайте \frac{11}{18} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{40}{9}+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{11}{18} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{40}{9}+\frac{121}{324}$$

Щоб додати \frac{40}{9} до \frac{121}{324}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{1561}{324}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{1561}{324}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{324}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{11}{18}=\frac{\sqrt{1561}}{18} x+\frac{11}{18}=-\frac{\sqrt{1561}}{18}$$

Відніміть \frac{11}{18} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$