Розв'яжіть 27=22t-5t^2

$$27 = 22 t - 5 t ^ { 2 }$$

Знайдіть t

$$t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5}\approx 2,2+0,748331477i$$

$$t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5}\approx 2,2-0,748331477i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Перенесіть усі змінні члени до лівої частини рівняння.

$$22t-5t^{2}=27$$

Відніміть 27 з обох сторін.

$$22t-5t^{2}-27=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-5t^{2}+22t-27=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -5 замість a, 22 замість b і -27 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-5\right)\left(-27\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Піднесіть 22 до квадрата.

$$t=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-5\right)\left(-27\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Помножте -4 на -5.

$$t=\frac{-22±\sqrt{484+20\left(-27\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Помножте 20 на -27.

$$t=\frac{-22±\sqrt{484-540}}{2\left(-5\right)}$$

Додайте 484 до -540.

$$t=\frac{-22±\sqrt{-56}}{2\left(-5\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -56.

$$t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{2\left(-5\right)}$$

Помножте 2 на -5.

$$t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{-10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{-10} за додатного значення ±. Додайте -22 до 2i\sqrt{14}.

$$t=\frac{-22+2\sqrt{14}i}{-10}$$

Розділіть -22+2i\sqrt{14} на -10.

$$t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{-10} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{14} від -22.

$$t=\frac{-2\sqrt{14}i-22}{-10}$$

Розділіть -22-2i\sqrt{14} на -10.

$$t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5} t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Перенесіть усі змінні члени до лівої частини рівняння.

$$22t-5t^{2}=27$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-5t^{2}+22t=27$$

Розділіть обидві сторони на -5.

$$\frac{-5t^{2}+22t}{-5}=\frac{27}{-5}$$

Ділення на -5 скасовує множення на -5.

$$t^{2}+\frac{22}{-5}t=\frac{27}{-5}$$

Розділіть 22 на -5.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t=\frac{27}{-5}$$

Розділіть 27 на -5.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t=-\frac{27}{5}$$

Поділіть -\frac{22}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{11}{5}. Потім додайте -\frac{11}{5} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\left(-\frac{11}{5}\right)^{2}=-\frac{27}{5}+\left(-\frac{11}{5}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{11}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25}=-\frac{27}{5}+\frac{121}{25}$$

Щоб додати -\frac{27}{5} до \frac{121}{25}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25}=-\frac{14}{25}$$

Розкладіть t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{11}{5}\right)^{2}=-\frac{14}{25}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(t-\frac{11}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{25}}$$

Виконайте спрощення.

$$t-\frac{11}{5}=\frac{\sqrt{14}i}{5} t-\frac{11}{5}=-\frac{\sqrt{14}i}{5}$$

Додайте \frac{11}{5} до обох сторін цього рівняння.

$$t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5} t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5}$$