Розв'яжіть 25y^2-60y+36

$$25 y ^ { 2 } - 60 y + 36$$

Розкласти на множники

$$\left(5y-6\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 25y^{2}+ay+by+36. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-60 ab=25\times 36=900$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -60.

$$a=-30 b=-30$$

Перепишіть 25y^{2}-60y+36 як \left(25y^{2}-30y\right)+\left(-30y+36\right).

$$\left(25y^{2}-30y\right)+\left(-30y+36\right)$$

5y на першій та -6 в друге групу.

$$5y\left(5y-6\right)-6\left(5y-6\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 5y-6, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(5y-6\right)^{2}$$

Покрокові інструкції з використання квадрату двочлена

Цей тричлен має форму квадратного тричлена, можливо, помноженого на спільний множник. Квадратні тричлени можна розкласти на множники, якщо обчислити квадратні корені першого та останнього доданків.

$$factor(25y^{2}-60y+36)$$

Обчисліть найбільший спільний дільник коефіцієнтів.

$$gcf(25,-60,36)=1$$

Видобудьте квадратний корінь із найстаршого члена: 25y^{2}.

$$\sqrt{25y^{2}}=5y$$

Видобудьте квадратний корінь із наймолодшого члена: 36.

$$\sqrt{36}=6$$

Квадратний тричлен – це піднесений до квадрата двочлен, який складається із суми або різниці квадратних коренів із першого та останнього доданків. Знак визначається за знаком середнього доданка в квадратному тричлені.

$$\left(5y-6\right)^{2}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$25y^{2}-60y+36=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 25\times 36}}{2\times 25}$$

Піднесіть -60 до квадрата.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 25\times 36}}{2\times 25}$$

Помножте -4 на 25.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-100\times 36}}{2\times 25}$$

Помножте -100 на 36.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3600}}{2\times 25}$$

Додайте 3600 до -3600.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±0}{2\times 25}$$

Число, протилежне до -60, дорівнює 60.

$$y=\frac{60±0}{2\times 25}$$

Помножте 2 на 25.

$$y=\frac{60±0}{50}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{6}{5} на x_{1} та \frac{6}{5} на x_{2}.

$$25y^{2}-60y+36=25\left(y-\frac{6}{5}\right)\left(y-\frac{6}{5}\right)$$

Щоб відняти y від \frac{6}{5}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{5y-6}{5}\left(y-\frac{6}{5}\right)$$

Щоб відняти y від \frac{6}{5}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{5y-6}{5}\times \frac{5y-6}{5}$$

Щоб помножити \frac{5y-6}{5} на \frac{5y-6}{5}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)}{5\times 5}$$

Помножте 5 на 5.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)}{25}$$

Відкиньте 25, тобто найбільший спільний дільник для 25 й 25.

$$25y^{2}-60y+36=\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)$$

Обчислити

$$\left(5y-6\right)^{2}$$