Розв'яжіть 25x^2-90x+82=0

$$25 x ^ { 2 } - 90 x + 82 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i=1,8+0,2i$$

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i=1,8-0,2i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 25 замість a, -90 замість b і 82 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

Піднесіть -90 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

Помножте -4 на 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 82}}{2\times 25}$$

Помножте -100 на 82.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8200}}{2\times 25}$$

Додайте 8100 до -8200.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-100}}{2\times 25}$$

Видобудьте квадратний корінь із -100.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±10i}{2\times 25}$$

Число, протилежне до -90, дорівнює 90.

$$x=\frac{90±10i}{2\times 25}$$

Помножте 2 на 25.

$$x=\frac{90±10i}{50}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{90±10i}{50} за додатного значення ±. Додайте 90 до 10i.

$$x=\frac{90+10i}{50}$$

Розділіть 90+10i на 50.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{90±10i}{50} за від’ємного значення ±. Відніміть 10i від 90.

$$x=\frac{90-10i}{50}$$

Розділіть 90-10i на 50.

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

Відніміть 82 від обох сторін цього рівняння.

$$25x^{2}-90x+82-82=-82$$

Якщо відняти 82 від самого себе, залишиться 0.

$$25x^{2}-90x=-82$$

Розділіть обидві сторони на 25.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{82}{25}$$

Ділення на 25 скасовує множення на 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{82}{25}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 5, щоб звести дріб \frac{-90}{25} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{82}{25}$$

Поділіть -\frac{18}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{9}{5}. Потім додайте -\frac{9}{5} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{82}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{9}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-82+81}{25}$$

Щоб додати -\frac{82}{25} до \frac{81}{25}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{25}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{25}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{1}{5}i x-\frac{9}{5}=-\frac{1}{5}i$$

Додайте \frac{9}{5} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$