Розв'яжіть 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 25x^{2}+ax+bx+16. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

Оскільки ab додатне, a і b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b є негативними. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -40.

$$a=-20 b=-20$$

Перепишіть 25x^{2}-40x+16 як \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right).

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

Винесіть за дужки 5x в першій і -4 у другій групі.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 5x-4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

Щоб знайти розв’язок рівняння, обчисліть 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 25 замість a, -40 замість b і 16 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Піднесіть -40 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Помножте -4 на 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Помножте -100 на 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Додайте 1600 до -1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

Число, протилежне до -40, дорівнює 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

Помножте 2 на 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 10, щоб звести дріб \frac{40}{50} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{4}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Відніміть 16 від обох сторін цього рівняння.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

Якщо відняти 16 від самого себе, залишиться 0.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Розділіть обидві сторони на 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

Ділення на 25 скасовує множення на 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 5, щоб звести дріб \frac{-40}{25} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

Поділіть -\frac{8}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{4}{5}. Потім додайте -\frac{4}{5} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{4}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

Щоб додати -\frac{16}{25} до \frac{16}{25}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

Розкладіть x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Додайте \frac{4}{5} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано. Розв’язки збігаються.

$$x=\frac{4}{5}$$