Розв'яжіть 25x^2-10x+1=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x + 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 25x^{2}+ax+bx+1. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-10 ab=25\times 1=25$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 25.

$$-1,-25 -5,-5$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-25=-26 -5-5=-10$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -10.

$$a=-5 b=-5$$

Перепишіть 25x^{2}-10x+1 як \left(25x^{2}-5x\right)+\left(-5x+1\right).

$$\left(25x^{2}-5x\right)+\left(-5x+1\right)$$

5x на першій та -1 в друге групу.

$$5x\left(5x-1\right)-\left(5x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 5x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(5x-1\right)\left(5x-1\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(5x-1\right)^{2}$$

Щоб знайти розв’язок рівняння, обчисліть 5x-1=0.

$$x=\frac{1}{5}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$25x^{2}-10x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 25 замість a, -10 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 25}}{2\times 25}$$

Піднесіть -10 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 25}}{2\times 25}$$

Помножте -4 на 25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-100}}{2\times 25}$$

Додайте 100 до -100.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$x=-\frac{-10}{2\times 25}$$

Число, протилежне до -10, дорівнює 10.

$$x=\frac{10}{2\times 25}$$

Помножте 2 на 25.

$$x=\frac{10}{50}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 10, щоб звести дріб \frac{10}{50} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-10x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$25x^{2}-10x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$25x^{2}-10x=-1$$

Розділіть обидві сторони на 25.

$$\frac{25x^{2}-10x}{25}=-\frac{1}{25}$$

Ділення на 25 скасовує множення на 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{25}\right)x=-\frac{1}{25}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 5, щоб звести дріб \frac{-10}{25} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{1}{25}$$

Поділіть -\frac{2}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{5}. Потім додайте -\frac{1}{5} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{-1+1}{25}$$

Щоб додати -\frac{1}{25} до \frac{1}{25}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=0$$

Розкладіть x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=0$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{5}=0 x-\frac{1}{5}=0$$

Додайте \frac{1}{5} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1}{5} x=\frac{1}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано. Розв’язки збігаються.

$$x=\frac{1}{5}$$