Розв'яжіть 25v^2+40v+16

$$25 v ^ { 2 } + 40 v + 16$$

Розкласти на множники

$$\left(5v+4\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 25v^{2}+av+bv+16. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=40 ab=25\times 16=400$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 400.

$$1,400 2,200 4,100 5,80 8,50 10,40 16,25 20,20$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+400=401 2+200=202 4+100=104 5+80=85 8+50=58 10+40=50 16+25=41 20+20=40$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 40.

$$a=20 b=20$$

Перепишіть 25v^{2}+40v+16 як \left(25v^{2}+20v\right)+\left(20v+16\right).

$$\left(25v^{2}+20v\right)+\left(20v+16\right)$$

5v на першій та 4 в друге групу.

$$5v\left(5v+4\right)+4\left(5v+4\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 5v+4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(5v+4\right)\left(5v+4\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(5v+4\right)^{2}$$

Покрокові інструкції з використання квадрату двочлена

Цей тричлен має форму квадратного тричлена, можливо, помноженого на спільний множник. Квадратні тричлени можна розкласти на множники, якщо обчислити квадратні корені першого та останнього доданків.

$$factor(25v^{2}+40v+16)$$

Обчисліть найбільший спільний дільник коефіцієнтів.

$$gcf(25,40,16)=1$$

Видобудьте квадратний корінь із найстаршого члена: 25v^{2}.

$$\sqrt{25v^{2}}=5v$$

Видобудьте квадратний корінь із наймолодшого члена: 16.

$$\sqrt{16}=4$$

Квадратний тричлен – це піднесений до квадрата двочлен, який складається із суми або різниці квадратних коренів із першого та останнього доданків. Знак визначається за знаком середнього доданка в квадратному тричлені.

$$\left(5v+4\right)^{2}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$25v^{2}+40v+16=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$v=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Піднесіть 40 до квадрата.

$$v=\frac{-40±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Помножте -4 на 25.

$$v=\frac{-40±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Помножте -100 на 16.

$$v=\frac{-40±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Додайте 1600 до -1600.

$$v=\frac{-40±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$v=\frac{-40±0}{2\times 25}$$

Помножте 2 на 25.

$$v=\frac{-40±0}{50}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -\frac{4}{5} на x_{1} та -\frac{4}{5} на x_{2}.

$$25v^{2}+40v+16=25\left(v-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$25v^{2}+40v+16=25\left(v+\frac{4}{5}\right)\left(v+\frac{4}{5}\right)$$

Щоб додати \frac{4}{5} до v, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$25v^{2}+40v+16=25\times \frac{5v+4}{5}\left(v+\frac{4}{5}\right)$$

Щоб додати \frac{4}{5} до v, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$25v^{2}+40v+16=25\times \frac{5v+4}{5}\times \frac{5v+4}{5}$$

Щоб помножити \frac{5v+4}{5} на \frac{5v+4}{5}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$25v^{2}+40v+16=25\times \frac{\left(5v+4\right)\left(5v+4\right)}{5\times 5}$$

Помножте 5 на 5.

$$25v^{2}+40v+16=25\times \frac{\left(5v+4\right)\left(5v+4\right)}{25}$$

Відкиньте 25, тобто найбільший спільний дільник для 25 й 25.

$$25v^{2}+40v+16=\left(5v+4\right)\left(5v+4\right)$$

Обчислити

$$\left(5v+4\right)^{2}$$