Розв'яжіть 25n^2-30n+9

$$25 n ^ { 2 } - 30 n + 9$$

Розкласти на множники

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 25n^{2}+an+bn+9. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-30 ab=25\times 9=225$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -30.

$$a=-15 b=-15$$

Перепишіть 25n^{2}-30n+9 як \left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right).

$$\left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right)$$

5n на першій та -3 в друге групу.

$$5n\left(5n-3\right)-3\left(5n-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 5n-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Покрокові інструкції з використання квадрату двочлена

Цей тричлен має форму квадратного тричлена, можливо, помноженого на спільний множник. Квадратні тричлени можна розкласти на множники, якщо обчислити квадратні корені першого та останнього доданків.

$$factor(25n^{2}-30n+9)$$

Обчисліть найбільший спільний дільник коефіцієнтів.

$$gcf(25,-30,9)=1$$

Видобудьте квадратний корінь із найстаршого члена: 25n^{2}.

$$\sqrt{25n^{2}}=5n$$

Видобудьте квадратний корінь із наймолодшого члена: 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Квадратний тричлен – це піднесений до квадрата двочлен, який складається із суми або різниці квадратних коренів із першого та останнього доданків. Знак визначається за знаком середнього доданка в квадратному тричлені.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$25n^{2}-30n+9=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Піднесіть -30 до квадрата.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Помножте -4 на 25.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

Помножте -100 на 9.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Додайте 900 до -900.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±0}{2\times 25}$$

Число, протилежне до -30, дорівнює 30.

$$n=\frac{30±0}{2\times 25}$$

Помножте 2 на 25.

$$n=\frac{30±0}{50}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{3}{5} на x_{1} та \frac{3}{5} на x_{2}.

$$25n^{2}-30n+9=25\left(n-\frac{3}{5}\right)\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Щоб відняти n від \frac{3}{5}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Щоб відняти n від \frac{3}{5}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\times \frac{5n-3}{5}$$

Щоб помножити \frac{5n-3}{5} на \frac{5n-3}{5}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{5\times 5}$$

Помножте 5 на 5.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{25}$$

Відкиньте 25, тобто найбільший спільний дільник для 25 й 25.

$$25n^{2}-30n+9=\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Обчислити

$$\left(5n-3\right)^{2}$$