Розв'яжіть 25a^2-40a+16

$$25 a ^ { 2 } - 40 a + 16$$

Розкласти на множники

$$\left(5a-4\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 25a^{2}+pa+qa+16. Щоб знайти p та q, настройте систему для вирішено.

$$p+q=-40 pq=25\times 16=400$$

Оскільки pq додатне, p та q мають однаковий знак. Оскільки p+q від'ємне, p і q мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -40.

$$p=-20 q=-20$$

Перепишіть 25a^{2}-40a+16 як \left(25a^{2}-20a\right)+\left(-20a+16\right).

$$\left(25a^{2}-20a\right)+\left(-20a+16\right)$$

5a на першій та -4 в друге групу.

$$5a\left(5a-4\right)-4\left(5a-4\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 5a-4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(5a-4\right)^{2}$$

Покрокові інструкції з використання квадрату двочлена

Цей тричлен має форму квадратного тричлена, можливо, помноженого на спільний множник. Квадратні тричлени можна розкласти на множники, якщо обчислити квадратні корені першого та останнього доданків.

$$factor(25a^{2}-40a+16)$$

Обчисліть найбільший спільний дільник коефіцієнтів.

$$gcf(25,-40,16)=1$$

Видобудьте квадратний корінь із найстаршого члена: 25a^{2}.

$$\sqrt{25a^{2}}=5a$$

Видобудьте квадратний корінь із наймолодшого члена: 16.

$$\sqrt{16}=4$$

Квадратний тричлен – це піднесений до квадрата двочлен, який складається із суми або різниці квадратних коренів із першого та останнього доданків. Знак визначається за знаком середнього доданка в квадратному тричлені.

$$\left(5a-4\right)^{2}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$25a^{2}-40a+16=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Піднесіть -40 до квадрата.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Помножте -4 на 25.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Помножте -100 на 16.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Додайте 1600 до -1600.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±0}{2\times 25}$$

Число, протилежне до -40, дорівнює 40.

$$a=\frac{40±0}{2\times 25}$$

Помножте 2 на 25.

$$a=\frac{40±0}{50}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{4}{5} на x_{1} та \frac{4}{5} на x_{2}.

$$25a^{2}-40a+16=25\left(a-\frac{4}{5}\right)\left(a-\frac{4}{5}\right)$$

Щоб відняти a від \frac{4}{5}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{5a-4}{5}\left(a-\frac{4}{5}\right)$$

Щоб відняти a від \frac{4}{5}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{5a-4}{5}\times \frac{5a-4}{5}$$

Щоб помножити \frac{5a-4}{5} на \frac{5a-4}{5}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)}{5\times 5}$$

Помножте 5 на 5.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)}{25}$$

Відкиньте 25, тобто найбільший спільний дільник для 25 й 25.

$$25a^{2}-40a+16=\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)$$

Обчислити

$$\left(5a-4\right)^{2}$$