Розв'яжіть 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

Знайдіть x

$$x=-30$$

$$x=20$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Розділіть обидві сторони на 25.

$$x^{2}+10x-600=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді x^{2}+ax+bx-600. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 10.

$$a=-20 b=30$$

Перепишіть x^{2}+10x-600 як \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

Винесіть за дужки x в першій і 30 у другій групі.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-20, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть x-20=0 і x+30=0.

$$x=20 x=-30$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 25 замість a, 250 замість b і -15000 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Піднесіть 250 до квадрата.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Помножте -4 на 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Помножте -100 на -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

Додайте 62500 до 1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1562500.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

Помножте 2 на 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-250±1250}{50} за додатного значення ±. Додайте -250 до 1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

Розділіть 1000 на 50.

$$x=20$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-250±1250}{50} за від’ємного значення ±. Відніміть 1250 від -250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

Розділіть -1500 на 50.

$$x=-30$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=20 x=-30$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Додайте 15000 до обох сторін цього рівняння.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

Якщо відняти -15000 від самого себе, залишиться 0.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

Відніміть -15000 від 0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Розділіть обидві сторони на 25.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

Ділення на 25 скасовує множення на 25.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

Розділіть 250 на 25.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

Розділіть 15000 на 25.

$$x^{2}+10x=600$$

Поділіть 10 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 5. Потім додайте 5 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

Піднесіть 5 до квадрата.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

Додайте 600 до 25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

Розкладіть x^{2}+10x+25 на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Виконайте спрощення.

$$x+5=25 x+5=-25$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$x=20 x=-30$$