Розв'яжіть 25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1,587301587+1,387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1,587301587-1,387414183i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(4+x\right)^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 25 на 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 7 на 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 35-7x на 5+x і звести подібні члени.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Додайте 400 до 175, щоб обчислити 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Додайте 25x^{2} до -7x^{2}, щоб отримати 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Відніміть 295 з обох сторін.

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

Відніміть 295 від 575, щоб отримати 280.

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

Додайте 45x^{2} до обох сторін.

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

Додайте 18x^{2} до 45x^{2}, щоб отримати 63x^{2}.

$$280+200x+63x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$63x^{2}+200x+280=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 63 замість a, 200 замість b і 280 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Піднесіть 200 до квадрата.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Помножте -4 на 63.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

Помножте -252 на 280.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

Додайте 40000 до -70560.

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

Видобудьте квадратний корінь із -30560.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

Помножте 2 на 63.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} за додатного значення ±. Додайте -200 до 4i\sqrt{1910}.

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

Розділіть -200+4i\sqrt{1910} на 126.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} за від’ємного значення ±. Відніміть 4i\sqrt{1910} від -200.

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

Розділіть -200-4i\sqrt{1910} на 126.

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(4+x\right)^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 25 на 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 7 на 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 35-7x на 5+x і звести подібні члени.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Додайте 400 до 175, щоб обчислити 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Додайте 25x^{2} до -7x^{2}, щоб отримати 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Додайте 45x^{2} до обох сторін.

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

Додайте 18x^{2} до 45x^{2}, щоб отримати 63x^{2}.

$$575+200x+63x^{2}=295$$

Відніміть 575 з обох сторін.

$$200x+63x^{2}=295-575$$

Відніміть 575 від 295, щоб отримати -280.

$$200x+63x^{2}=-280$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$63x^{2}+200x=-280$$

Розділіть обидві сторони на 63.

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

Ділення на 63 скасовує множення на 63.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 7, щоб звести дріб \frac{-280}{63} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

Поділіть \frac{200}{63} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{100}{63}. Потім додайте \frac{100}{63} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{100}{63} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

Щоб додати -\frac{40}{9} до \frac{10000}{3969}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

Відніміть \frac{100}{63} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$