Розв'яжіть 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 24x^{2}+ax+bx+21. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -65.

$$a=-56 b=-9$$

Перепишіть 24x^{2}-65x+21 як \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

8x на першій та -3 в друге групу.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-7, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3x-7=0 та 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 24 замість a, -65 замість b і 21 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Піднесіть -65 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Помножте -4 на 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Помножте -96 на 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Додайте 4225 до -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Видобудьте квадратний корінь із 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

Число, протилежне до -65, дорівнює 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Помножте 2 на 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{65±47}{48} за додатного значення ±. Додайте 65 до 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 16, щоб звести дріб \frac{112}{48} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{7}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{65±47}{48} за від’ємного значення ±. Відніміть 47 від 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{18}{48} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{3}{8}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Відніміть 21 від обох сторін цього рівняння.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Якщо відняти 21 від самого себе, залишиться 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Розділіть обидві сторони на 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Ділення на 24 скасовує множення на 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{-21}{24} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Поділіть -\frac{65}{24} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{65}{48}. Потім додайте -\frac{65}{48} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{65}{48} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Щоб додати -\frac{7}{8} до \frac{4225}{2304}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Додайте \frac{65}{48} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$