Розв'яжіть 24x^2-24x+7=0

$$24 x ^ { 2 } - 24 x + 7 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{6}i}{12}+\frac{1}{2}\approx 0,5+0,204124145i$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}i}{12}+\frac{1}{2}\approx 0,5-0,204124145i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$24x^{2}-24x+7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 24 замість a, -24 замість b і 7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 24\times 7}}{2\times 24}$$

Піднесіть -24 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 24\times 7}}{2\times 24}$$

Помножте -4 на 24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-96\times 7}}{2\times 24}$$

Помножте -96 на 7.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-672}}{2\times 24}$$

Додайте 576 до -672.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-96}}{2\times 24}$$

Видобудьте квадратний корінь із -96.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±4\sqrt{6}i}{2\times 24}$$

Число, протилежне до -24, дорівнює 24.

$$x=\frac{24±4\sqrt{6}i}{2\times 24}$$

Помножте 2 на 24.

$$x=\frac{24±4\sqrt{6}i}{48}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{24±4\sqrt{6}i}{48} за додатного значення ±. Додайте 24 до 4i\sqrt{6}.

$$x=\frac{24+4\sqrt{6}i}{48}$$

Розділіть 24+4i\sqrt{6} на 48.

$$x=\frac{\sqrt{6}i}{12}+\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{24±4\sqrt{6}i}{48} за від’ємного значення ±. Відніміть 4i\sqrt{6} від 24.

$$x=\frac{-4\sqrt{6}i+24}{48}$$

Розділіть 24-4i\sqrt{6} на 48.

$$x=-\frac{\sqrt{6}i}{12}+\frac{1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{6}i}{12}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}i}{12}+\frac{1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-24x+7=0$$

Відніміть 7 від обох сторін цього рівняння.

$$24x^{2}-24x+7-7=-7$$

Якщо відняти 7 від самого себе, залишиться 0.

$$24x^{2}-24x=-7$$

Розділіть обидві сторони на 24.

$$\frac{24x^{2}-24x}{24}=-\frac{7}{24}$$

Ділення на 24 скасовує множення на 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{24}\right)x=-\frac{7}{24}$$

Розділіть -24 на 24.

$$x^{2}-x=-\frac{7}{24}$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{24}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{24}+\frac{1}{4}$$

Щоб додати -\frac{7}{24} до \frac{1}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{24}$$

Розкладіть x^{2}-x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{24}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{24}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}i}{12} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}i}{12}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{6}i}{12}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}i}{12}+\frac{1}{2}$$