Розв'яжіть 24x^2+x-10

$$24 x ^ { 2 } + x - 10$$

Розкласти на множники

$$\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 24x^{2}+ax+bx-10. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=1 ab=24\left(-10\right)=-240$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -240.

$$-1,240 -2,120 -3,80 -4,60 -5,48 -6,40 -8,30 -10,24 -12,20 -15,16$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+240=239 -2+120=118 -3+80=77 -4+60=56 -5+48=43 -6+40=34 -8+30=22 -10+24=14 -12+20=8 -15+16=1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 1.

$$a=-15 b=16$$

Перепишіть 24x^{2}+x-10 як \left(24x^{2}-15x\right)+\left(16x-10\right).

$$\left(24x^{2}-15x\right)+\left(16x-10\right)$$

3x на першій та 2 в друге групу.

$$3x\left(8x-5\right)+2\left(8x-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 8x-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+x-10=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 24\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 24\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

Помножте -4 на 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-96\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

Помножте -96 на -10.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+960}}{2\times 24}$$

Додайте 1 до 960.

$$x=\frac{-1±\sqrt{961}}{2\times 24}$$

Видобудьте квадратний корінь із 961.

$$x=\frac{-1±31}{2\times 24}$$

Помножте 2 на 24.

$$x=\frac{-1±31}{48}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±31}{48} за додатного значення ±. Додайте -1 до 31.

$$x=\frac{30}{48}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{30}{48} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{5}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±31}{48} за від’ємного значення ±. Відніміть 31 від -1.

$$x=-\frac{32}{48}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 16, щоб звести дріб \frac{-32}{48} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{5}{8} на x_{1} та -\frac{2}{3} на x_{2}.

$$24x^{2}+x-10=24\left(x-\frac{5}{8}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$24x^{2}+x-10=24\left(x-\frac{5}{8}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{5}{8}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{8x-5}{8}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Щоб додати \frac{2}{3} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{8x-5}{8}\times \frac{3x+2}{3}$$

Щоб помножити \frac{8x-5}{8} на \frac{3x+2}{3}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)}{8\times 3}$$

Помножте 8 на 3.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)}{24}$$

Відкиньте 24, тобто найбільший спільний дільник для 24 й 24.

$$24x^{2}+x-10=\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Обчислити

$$24x^{2}+x-10$$