Розв'яжіть 24a^2-60a+352=0

$$24 a ^ { 2 } - 60 a + 352 = 0$$

Знайдіть a

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}\approx 1,25+3,619967771i$$

$$a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}\approx 1,25-3,619967771i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$24a^{2}-60a+352=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 24 замість a, -60 замість b і 352 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 24\times 352}}{2\times 24}$$

Піднесіть -60 до квадрата.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 24\times 352}}{2\times 24}$$

Помножте -4 на 24.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-96\times 352}}{2\times 24}$$

Помножте -96 на 352.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-33792}}{2\times 24}$$

Додайте 3600 до -33792.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{-30192}}{2\times 24}$$

Видобудьте квадратний корінь із -30192.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±4\sqrt{1887}i}{2\times 24}$$

Число, протилежне до -60, дорівнює 60.

$$a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{2\times 24}$$

Помножте 2 на 24.

$$a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{48}$$

Тепер розв’яжіть рівняння a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{48} за додатного значення ±. Додайте 60 до 4i\sqrt{1887}.

$$a=\frac{60+4\sqrt{1887}i}{48}$$

Розділіть 60+4i\sqrt{1887} на 48.

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{48} за від’ємного значення ±. Відніміть 4i\sqrt{1887} від 60.

$$a=\frac{-4\sqrt{1887}i+60}{48}$$

Розділіть 60-4i\sqrt{1887} на 48.

$$a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4} a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$24a^{2}-60a+352=0$$

Відніміть 352 від обох сторін цього рівняння.

$$24a^{2}-60a+352-352=-352$$

Якщо відняти 352 від самого себе, залишиться 0.

$$24a^{2}-60a=-352$$

Розділіть обидві сторони на 24.

$$\frac{24a^{2}-60a}{24}=-\frac{352}{24}$$

Ділення на 24 скасовує множення на 24.

$$a^{2}+\left(-\frac{60}{24}\right)a=-\frac{352}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 12, щоб звести дріб \frac{-60}{24} до нескоротного вигляду.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a=-\frac{352}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{-352}{24} до нескоротного вигляду.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a=-\frac{44}{3}$$

Поділіть -\frac{5}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{4}. Потім додайте -\frac{5}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{44}{3}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a+\frac{25}{16}=-\frac{44}{3}+\frac{25}{16}$$

Щоб додати -\frac{44}{3} до \frac{25}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a+\frac{25}{16}=-\frac{629}{48}$$

Розкладіть a^{2}-\frac{5}{2}a+\frac{25}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{629}{48}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{629}{48}}$$

Виконайте спрощення.

$$a-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{1887}i}{12} a-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}$$

Додайте \frac{5}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4} a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$