Розв'яжіть 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Знайдіть k

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Розділіть обидві сторони на 2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 12k^{2}+ak+bk+12. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 25.

$$a=9 b=16$$

Перепишіть 12k^{2}+25k+12 як \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right).

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

3k на першій та 4 в друге групу.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 4k+3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 4k+3=0 та 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 24 замість a, 50 замість b і 24 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Піднесіть 50 до квадрата.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Помножте -4 на 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Помножте -96 на 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Додайте 2500 до -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Видобудьте квадратний корінь із 196.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Помножте 2 на 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Тепер розв’яжіть рівняння k=\frac{-50±14}{48} за додатного значення ±. Додайте -50 до 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 12, щоб звести дріб \frac{-36}{48} до нескоротного вигляду.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння k=\frac{-50±14}{48} за від’ємного значення ±. Відніміть 14 від -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 16, щоб звести дріб \frac{-64}{48} до нескоротного вигляду.

$$k=-\frac{4}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Відніміть 24 від обох сторін цього рівняння.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

Якщо відняти 24 від самого себе, залишиться 0.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Розділіть обидві сторони на 24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

Ділення на 24 скасовує множення на 24.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{50}{24} до нескоротного вигляду.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

Розділіть -24 на 24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Поділіть \frac{25}{12} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{25}{24}. Потім додайте \frac{25}{24} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{25}{24} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Додайте -1 до \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Розкладіть k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Виконайте спрощення.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Відніміть \frac{25}{24} від обох сторін цього рівняння.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$