Розв'яжіть 23x^2+12x-35geq0

$$23 x ^ { 2 } + 12 x - 35 \geq 0$$

Знайти x

$$x\in (-\infty,-\frac{35}{23}]\cup [1,\infty)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$23x^{2}+12x-35=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 23 на a, 12 – на b, а -35 – на c.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 23\left(-35\right)}}{2\times 23}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-12±58}{46}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-12±58}{46} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=1 x=-\frac{35}{23}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$23\left(x-1\right)\left(x+\frac{35}{23}\right)\geq 0$$

Щоб добуток був ≥0, x-1 і x+\frac{35}{23} мають одночасно бути або ≤0, або ≥0. Розглянемо випадок, коли x-1 і x+\frac{35}{23} ≤0.

$$x-1\leq 0 x+\frac{35}{23}\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\leq -\frac{35}{23}.

$$x\leq -\frac{35}{23}$$

Розглянемо випадок, коли x-1 і x+\frac{35}{23} ≥0.

$$x+\frac{35}{23}\geq 0 x-1\geq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\geq 1.

$$x\geq 1$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\leq -\frac{35}{23}\text{; }x\geq 1$$