Розв'яжіть 219x^2-12x+4=0

$$219 x ^ { 2 } - 12 x + 4 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}\approx 0,02739726+0,13234134i$$

$$x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}\approx 0,02739726-0,13234134i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$219x^{2}-12x+4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 219 замість a, -12 замість b і 4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 219\times 4}}{2\times 219}$$

Піднесіть -12 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 219\times 4}}{2\times 219}$$

Помножте -4 на 219.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-876\times 4}}{2\times 219}$$

Помножте -876 на 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-3504}}{2\times 219}$$

Додайте 144 до -3504.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-3360}}{2\times 219}$$

Видобудьте квадратний корінь із -3360.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{210}i}{2\times 219}$$

Число, протилежне до -12, дорівнює 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{2\times 219}$$

Помножте 2 на 219.

$$x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438} за додатного значення ±. Додайте 12 до 4i\sqrt{210}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{210}i}{438}$$

Розділіть 12+4i\sqrt{210} на 438.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438} за від’ємного значення ±. Відніміть 4i\sqrt{210} від 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{210}i+12}{438}$$

Розділіть 12-4i\sqrt{210} на 438.

$$x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73} x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$219x^{2}-12x+4=0$$

Відніміть 4 від обох сторін цього рівняння.

$$219x^{2}-12x+4-4=-4$$

Якщо відняти 4 від самого себе, залишиться 0.

$$219x^{2}-12x=-4$$

Розділіть обидві сторони на 219.

$$\frac{219x^{2}-12x}{219}=-\frac{4}{219}$$

Ділення на 219 скасовує множення на 219.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{219}\right)x=-\frac{4}{219}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{-12}{219} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x=-\frac{4}{219}$$

Поділіть -\frac{4}{73} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{2}{73}. Потім додайте -\frac{2}{73} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\left(-\frac{2}{73}\right)^{2}=-\frac{4}{219}+\left(-\frac{2}{73}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{2}{73} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}=-\frac{4}{219}+\frac{4}{5329}$$

Щоб додати -\frac{4}{219} до \frac{4}{5329}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}=-\frac{280}{15987}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{73}\right)^{2}=-\frac{280}{15987}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{73}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{280}{15987}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{2}{73}=\frac{2\sqrt{210}i}{219} x-\frac{2}{73}=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}$$

Додайте \frac{2}{73} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73} x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$