Розв'яжіть 21y^2-25y-4

$$21 y ^ { 2 } - 25 y - 4$$

Розкласти на множники

$$\left(3y-4\right)\left(7y+1\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 21y^{2}+ay+by-4. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-25 ab=21\left(-4\right)=-84$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -25.

$$a=-28 b=3$$

Перепишіть 21y^{2}-25y-4 як \left(21y^{2}-28y\right)+\left(3y-4\right).

$$\left(21y^{2}-28y\right)+\left(3y-4\right)$$

Винесіть за дужки 7y в 21y^{2}-28y.

$$7y\left(3y-4\right)+3y-4$$

Винесіть за дужки спільний член 3y-4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3y-4\right)\left(7y+1\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$21y^{2}-25y-4=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$y=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 21\left(-4\right)}}{2\times 21}$$

Піднесіть -25 до квадрата.

$$y=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 21\left(-4\right)}}{2\times 21}$$

Помножте -4 на 21.

$$y=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-84\left(-4\right)}}{2\times 21}$$

Помножте -84 на -4.

$$y=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625+336}}{2\times 21}$$

Додайте 625 до 336.

$$y=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{961}}{2\times 21}$$

Видобудьте квадратний корінь із 961.

$$y=\frac{-\left(-25\right)±31}{2\times 21}$$

Число, протилежне до -25, дорівнює 25.

$$y=\frac{25±31}{2\times 21}$$

Помножте 2 на 21.

$$y=\frac{25±31}{42}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{25±31}{42} за додатного значення ±. Додайте 25 до 31.

$$y=\frac{56}{42}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 14, щоб звести дріб \frac{56}{42} до нескоротного вигляду.

$$y=\frac{4}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{25±31}{42} за від’ємного значення ±. Відніміть 31 від 25.

$$y=-\frac{6}{42}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-6}{42} до нескоротного вигляду.

$$y=-\frac{1}{7}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{4}{3} на x_{1} та -\frac{1}{7} на x_{2}.

$$21y^{2}-25y-4=21\left(y-\frac{4}{3}\right)\left(y-\left(-\frac{1}{7}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$21y^{2}-25y-4=21\left(y-\frac{4}{3}\right)\left(y+\frac{1}{7}\right)$$

Щоб відняти y від \frac{4}{3}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$21y^{2}-25y-4=21\times \frac{3y-4}{3}\left(y+\frac{1}{7}\right)$$

Щоб додати \frac{1}{7} до y, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$21y^{2}-25y-4=21\times \frac{3y-4}{3}\times \frac{7y+1}{7}$$

Щоб помножити \frac{3y-4}{3} на \frac{7y+1}{7}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$21y^{2}-25y-4=21\times \frac{\left(3y-4\right)\left(7y+1\right)}{3\times 7}$$

Помножте 3 на 7.

$$21y^{2}-25y-4=21\times \frac{\left(3y-4\right)\left(7y+1\right)}{21}$$

Відкиньте 21, тобто найбільший спільний дільник для 21 й 21.

$$21y^{2}-25y-4=\left(3y-4\right)\left(7y+1\right)$$

Обчислити

$$\left(3y-4\right)\left(7y+1\right)$$