Розв'яжіть 21x^2+11x-2

$$21 x ^ { 2 } + 11 x - 2$$

Розкласти на множники

$$\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 21x^{2}+ax+bx-2. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=11 ab=21\left(-2\right)=-42$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 11.

$$a=-3 b=14$$

Перепишіть 21x^{2}+11x-2 як \left(21x^{2}-3x\right)+\left(14x-2\right).

$$\left(21x^{2}-3x\right)+\left(14x-2\right)$$

3x на першій та 2 в друге групу.

$$3x\left(7x-1\right)+2\left(7x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 7x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$21x^{2}+11x-2=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 21\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Піднесіть 11 до квадрата.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 21\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Помножте -4 на 21.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-84\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Помножте -84 на -2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+168}}{2\times 21}$$

Додайте 121 до 168.

$$x=\frac{-11±\sqrt{289}}{2\times 21}$$

Видобудьте квадратний корінь із 289.

$$x=\frac{-11±17}{2\times 21}$$

Помножте 2 на 21.

$$x=\frac{-11±17}{42}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-11±17}{42} за додатного значення ±. Додайте -11 до 17.

$$x=\frac{6}{42}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{6}{42} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{7}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-11±17}{42} за від’ємного значення ±. Відніміть 17 від -11.

$$x=-\frac{28}{42}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 14, щоб звести дріб \frac{-28}{42} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{1}{7} на x_{1} та -\frac{2}{3} на x_{2}.

$$21x^{2}+11x-2=21\left(x-\frac{1}{7}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$21x^{2}+11x-2=21\left(x-\frac{1}{7}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{1}{7}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{7x-1}{7}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Щоб додати \frac{2}{3} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{7x-1}{7}\times \frac{3x+2}{3}$$

Щоб помножити \frac{7x-1}{7} на \frac{3x+2}{3}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)}{7\times 3}$$

Помножте 7 на 3.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)}{21}$$

Відкиньте 21, тобто найбільший спільний дільник для 21 й 21.

$$21x^{2}+11x-2=\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Обчислити

$$\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$