Розв'яжіть 21x^2-x-2

$$21 { x }^{ 2 } -x-2$$

Розкласти на множники

$$\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 21x^{2}+ax+bx-2. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-1 ab=21\left(-2\right)=-42$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -1.

$$a=-7 b=6$$

Перепишіть 21x^{2}-x-2 як \left(21x^{2}-7x\right)+\left(6x-2\right).

$$\left(21x^{2}-7x\right)+\left(6x-2\right)$$

7x на першій та 2 в друге групу.

$$7x\left(3x-1\right)+2\left(3x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$21x^{2}-x-2=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 21\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Помножте -4 на 21.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-84\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Помножте -84 на -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+168}}{2\times 21}$$

Додайте 1 до 168.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{169}}{2\times 21}$$

Видобудьте квадратний корінь із 169.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±13}{2\times 21}$$

Число, протилежне до -1, дорівнює 1.

$$x=\frac{1±13}{2\times 21}$$

Помножте 2 на 21.

$$x=\frac{1±13}{42}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±13}{42} за додатного значення ±. Додайте 1 до 13.

$$x=\frac{14}{42}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 14, щоб звести дріб \frac{14}{42} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±13}{42} за від’ємного значення ±. Відніміть 13 від 1.

$$x=-\frac{12}{42}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-12}{42} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{2}{7}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{1}{3} на x_{1} та -\frac{2}{7} на x_{2}.

$$21x^{2}-x-2=21\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{7}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$21x^{2}-x-2=21\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{2}{7}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{1}{3}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{3x-1}{3}\left(x+\frac{2}{7}\right)$$

Щоб додати \frac{2}{7} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{3x-1}{3}\times \frac{7x+2}{7}$$

Щоб помножити \frac{3x-1}{3} на \frac{7x+2}{7}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)}{3\times 7}$$

Помножте 3 на 7.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)}{21}$$

Відкиньте 21, тобто найбільший спільний дільник для 21 й 21.

$$21x^{2}-x-2=\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$

Обчислити

$$\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$