Розв'яжіть 20z^2+24z-9

$$20 z ^ { 2 } + 24 z - 9$$

Розкласти на множники

$$\left(10z-3\right)\left(2z+3\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 20z^{2}+az+bz-9. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=24 ab=20\left(-9\right)=-180$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 24.

$$a=-6 b=30$$

Перепишіть 20z^{2}+24z-9 як \left(20z^{2}-6z\right)+\left(30z-9\right).

$$\left(20z^{2}-6z\right)+\left(30z-9\right)$$

2z на першій та 3 в друге групу.

$$2z\left(10z-3\right)+3\left(10z-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 10z-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(10z-3\right)\left(2z+3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$20z^{2}+24z-9=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$z=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 20\left(-9\right)}}{2\times 20}$$

Піднесіть 24 до квадрата.

$$z=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 20\left(-9\right)}}{2\times 20}$$

Помножте -4 на 20.

$$z=\frac{-24±\sqrt{576-80\left(-9\right)}}{2\times 20}$$

Помножте -80 на -9.

$$z=\frac{-24±\sqrt{576+720}}{2\times 20}$$

Додайте 576 до 720.

$$z=\frac{-24±\sqrt{1296}}{2\times 20}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1296.

$$z=\frac{-24±36}{2\times 20}$$

Помножте 2 на 20.

$$z=\frac{-24±36}{40}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{-24±36}{40} за додатного значення ±. Додайте -24 до 36.

$$z=\frac{12}{40}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{12}{40} до нескоротного вигляду.

$$z=\frac{3}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{-24±36}{40} за від’ємного значення ±. Відніміть 36 від -24.

$$z=-\frac{60}{40}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 20, щоб звести дріб \frac{-60}{40} до нескоротного вигляду.

$$z=-\frac{3}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{3}{10} на x_{1} та -\frac{3}{2} на x_{2}.

$$20z^{2}+24z-9=20\left(z-\frac{3}{10}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$20z^{2}+24z-9=20\left(z-\frac{3}{10}\right)\left(z+\frac{3}{2}\right)$$

Щоб відняти z від \frac{3}{10}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$20z^{2}+24z-9=20\times \frac{10z-3}{10}\left(z+\frac{3}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{3}{2} до z, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$20z^{2}+24z-9=20\times \frac{10z-3}{10}\times \frac{2z+3}{2}$$

Щоб помножити \frac{10z-3}{10} на \frac{2z+3}{2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$20z^{2}+24z-9=20\times \frac{\left(10z-3\right)\left(2z+3\right)}{10\times 2}$$

Помножте 10 на 2.

$$20z^{2}+24z-9=20\times \frac{\left(10z-3\right)\left(2z+3\right)}{20}$$

Відкиньте 20, тобто найбільший спільний дільник для 20 й 20.

$$20z^{2}+24z-9=\left(10z-3\right)\left(2z+3\right)$$

Обчислити

$$\left(10z-3\right)\left(2z+3\right)$$