Розв'яжіть 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1,434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0,034846923$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 20 замість a, -28 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Піднесіть -28 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Помножте -4 на 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Помножте -80 на -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Додайте 784 до 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Видобудьте квадратний корінь із 864.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Число, протилежне до -28, дорівнює 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Помножте 2 на 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} за додатного значення ±. Додайте 28 до 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

Розділіть 28+12\sqrt{6} на 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} за від’ємного значення ±. Відніміть 12\sqrt{6} від 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

Розділіть 28-12\sqrt{6} на 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Розділіть обидві сторони на 20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

Ділення на 20 скасовує множення на 20.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-28}{20} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Поділіть -\frac{7}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{10}. Потім додайте -\frac{7}{10} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{10} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Щоб додати \frac{1}{20} до \frac{49}{100}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Додайте \frac{7}{10} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$