Розв'яжіть 20x^2+x-1>0

$$20 x ^ { 2 } + x - 1 > 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{1}{4}\right)\cup \left(\frac{1}{5},\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$20x^{2}+x-1=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 20 на a, 1 – на b, а -1 – на c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-1±9}{40}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±9}{40} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{1}{4}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$20\left(x-\frac{1}{5}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, x-\frac{1}{5} і x+\frac{1}{4} мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли x-\frac{1}{5} і x+\frac{1}{4} від’ємні.

$$x-\frac{1}{5}<0 x+\frac{1}{4}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x<-\frac{1}{4}.

$$x<-\frac{1}{4}$$

Розглянемо випадок, коли x-\frac{1}{5} і x+\frac{1}{4} додатні.

$$x+\frac{1}{4}>0 x-\frac{1}{5}>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x>\frac{1}{5}.

$$x>\frac{1}{5}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x<-\frac{1}{4}\text{; }x>\frac{1}{5}$$