Розв'яжіть 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1=0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 20x^{2}+ax+bx-1. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -1.

$$a=-5 b=4$$

Перепишіть 20x^{2}-x-1 як \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Винесіть за дужки 5x в 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Винесіть за дужки спільний член 4x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 4x-1=0 та 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 20 замість a, -1 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Помножте -4 на 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Помножте -80 на -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Додайте 1 до 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Видобудьте квадратний корінь із 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

Число, протилежне до -1, дорівнює 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Помножте 2 на 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±9}{40} за додатного значення ±. Додайте 1 до 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 10, щоб звести дріб \frac{10}{40} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±9}{40} за від’ємного значення ±. Відніміть 9 від 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{-8}{40} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Розділіть обидві сторони на 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

Ділення на 20 скасовує множення на 20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Поділіть -\frac{1}{20} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{40}. Потім додайте -\frac{1}{40} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{40} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Щоб додати \frac{1}{20} до \frac{1}{1600}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Додайте \frac{1}{40} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$