Розв'яжіть 2z^2-23z+30

$$2 z ^ { 2 } - 23 z + 30$$

Розкласти на множники

$$\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 2z^{2}+az+bz+30. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-23 ab=2\times 30=60$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 60.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -23.

$$a=-20 b=-3$$

Перепишіть 2z^{2}-23z+30 як \left(2z^{2}-20z\right)+\left(-3z+30\right).

$$\left(2z^{2}-20z\right)+\left(-3z+30\right)$$

2z на першій та -3 в друге групу.

$$2z\left(z-10\right)-3\left(z-10\right)$$

Винесіть за дужки спільний член z-10, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$2z^{2}-23z+30=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 2\times 30}}{2\times 2}$$

Піднесіть -23 до квадрата.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 2\times 30}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-8\times 30}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 30.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-240}}{2\times 2}$$

Додайте 529 до -240.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 289.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±17}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -23, дорівнює 23.

$$z=\frac{23±17}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$z=\frac{23±17}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{23±17}{4} за додатного значення ±. Додайте 23 до 17.

$$z=\frac{40}{4}$$

Розділіть 40 на 4.

$$z=10$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{23±17}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 17 від 23.

$$z=\frac{6}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{6}{4} до нескоротного вигляду.

$$z=\frac{3}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 10 на x_{1} та \frac{3}{2} на x_{2}.

$$2z^{2}-23z+30=2\left(z-10\right)\left(z-\frac{3}{2}\right)$$

Щоб відняти z від \frac{3}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$2z^{2}-23z+30=2\left(z-10\right)\times \frac{2z-3}{2}$$

Відкиньте 2, тобто найбільший спільний дільник для 2 й 2.

$$2z^{2}-23z+30=\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$

Обчислити

$$\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$