Розв'яжіть 2z^2-2z+5=0

$$2 z ^ { 2 } - 2 z + 5 = 0$$

Знайдіть z

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i=0,5+1,5i$$

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i=0,5-1,5i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -2 замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\times 5}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 5.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-40}}{2\times 2}$$

Додайте 4 до -40.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-36}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -36.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±6i}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$z=\frac{2±6i}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$z=\frac{2±6i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{2±6i}{4} за додатного значення ±. Додайте 2 до 6i.

$$z=\frac{2+6i}{4}$$

Розділіть 2+6i на 4.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{2±6i}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 6i від 2.

$$z=\frac{2-6i}{4}$$

Розділіть 2-6i на 4.

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$2z^{2}-2z+5-5=-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$2z^{2}-2z=-5$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2z^{2}-2z}{2}=-\frac{5}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$z^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)z=-\frac{5}{2}$$

Розділіть -2 на 2.

$$z^{2}-z=-\frac{5}{2}$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

Щоб додати -\frac{5}{2} до \frac{1}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Розкладіть z^{2}-z+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}i z-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}i$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$