Розв'яжіть 2y^2-y-6>0

$$2 y ^ { 2 } - y - 6 > 0$$

Знайти y

$$y\in \left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)\cup \left(2,\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$2y^{2}-y-6=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 2 на a, -1 – на b, а -6 – на c.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-6\right)}}{2\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$y=\frac{1±7}{4}$$

Розв’яжіть рівняння y=\frac{1±7}{4} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$y=2 y=-\frac{3}{2}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$2\left(y-2\right)\left(y+\frac{3}{2}\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, y-2 і y+\frac{3}{2} мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли y-2 і y+\frac{3}{2} від’ємні.

$$y-2<0 y+\frac{3}{2}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: y<-\frac{3}{2}.

$$y<-\frac{3}{2}$$

Розглянемо випадок, коли y-2 і y+\frac{3}{2} додатні.

$$y+\frac{3}{2}>0 y-2>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: y>2.

$$y>2$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$y<-\frac{3}{2}\text{; }y>2$$