Розв'яжіть 2y^2-y+2=0

$$2 y ^ { 2 } - y + 2 = 0$$

Знайдіть y

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4}\approx 0,25+0,968245837i$$

$$y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}\approx 0,25-0,968245837i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2y^{2}-y+2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -1 замість b і 2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\times 2}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 2.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16}}{2\times 2}$$

Додайте 1 до -16.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-15}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -15.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -1, дорівнює 1.

$$y=\frac{1±\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$y=\frac{1±\sqrt{15}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{1±\sqrt{15}i}{4} за додатного значення ±. Додайте 1 до i\sqrt{15}.

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{1±\sqrt{15}i}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{15} від 1.

$$y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4} y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}-y+2=0$$

Відніміть 2 від обох сторін цього рівняння.

$$2y^{2}-y+2-2=-2$$

Якщо відняти 2 від самого себе, залишиться 0.

$$2y^{2}-y=-2$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2y^{2}-y}{2}=-\frac{2}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y=-\frac{2}{2}$$

Розділіть -2 на 2.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y=-1$$

Поділіть -\frac{1}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{4}. Потім додайте -\frac{1}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

Додайте -1 до \frac{1}{16}.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

Розкладіть y^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$y-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} y-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Додайте \frac{1}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4} y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}$$