Розв'яжіть 2y^2-9y-18

$$2 y ^ { 2 } - 9 y - 18$$

Розкласти на множники

$$\left(y-6\right)\left(2y+3\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 2y^{2}+ay+by-18. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-9 ab=2\left(-18\right)=-36$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -9.

$$a=-12 b=3$$

Перепишіть 2y^{2}-9y-18 як \left(2y^{2}-12y\right)+\left(3y-18\right).

$$\left(2y^{2}-12y\right)+\left(3y-18\right)$$

2y на першій та 3 в друге групу.

$$2y\left(y-6\right)+3\left(y-6\right)$$

Винесіть за дужки спільний член y-6, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(y-6\right)\left(2y+3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$2y^{2}-9y-18=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть -9 до квадрата.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -18.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 2}$$

Додайте 81 до 144.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 225.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -9, дорівнює 9.

$$y=\frac{9±15}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$y=\frac{9±15}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{9±15}{4} за додатного значення ±. Додайте 9 до 15.

$$y=\frac{24}{4}$$

Розділіть 24 на 4.

$$y=6$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{9±15}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 15 від 9.

$$y=-\frac{6}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-6}{4} до нескоротного вигляду.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 6 на x_{1} та -\frac{3}{2} на x_{2}.

$$2y^{2}-9y-18=2\left(y-6\right)\left(y-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$2y^{2}-9y-18=2\left(y-6\right)\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{3}{2} до y, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$2y^{2}-9y-18=2\left(y-6\right)\times \frac{2y+3}{2}$$

Відкиньте 2, тобто найбільший спільний дільник для 2 й 2.

$$2y^{2}-9y-18=\left(y-6\right)\left(2y+3\right)$$

Обчислити

$$\left(y-6\right)\left(2y+3\right)$$