Розв'яжіть 2y^2+2y-1=0

$$2 y ^ { 2 } + 2 y - 1 = 0$$

Знайдіть y

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\approx 0,366025404$$

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}\approx -1,366025404$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, 2 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть 2 до квадрата.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -1.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Додайте 4 до 8.

$$y=\frac{-2±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 12.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} за додатного значення ±. Додайте -2 до 2\sqrt{3}.

$$y=\frac{2\sqrt{3}-2}{4}$$

Розділіть -2+2\sqrt{3} на 4.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{3} від -2.

$$y=\frac{-2\sqrt{3}-2}{4}$$

Розділіть -2-2\sqrt{3} на 4.

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$2y^{2}+2y-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$2y^{2}+2y=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$2y^{2}+2y=1$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2y^{2}+2y}{2}=\frac{1}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$y^{2}+\frac{2}{2}y=\frac{1}{2}$$

Розділіть 2 на 2.

$$y^{2}+y=\frac{1}{2}$$

Поділіть 1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{2}. Потім додайте \frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$y^{2}+y+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Щоб додати \frac{1}{2} до \frac{1}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Розкладіть y^{2}+y+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$y+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} y+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Відніміть \frac{1}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$