Розв'яжіть 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

Знайдіть x, y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0,153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3,230769231$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$2x-3y+10=0$$

Відніміть 10 від обох сторін цього рівняння.

$$2x-3y=-10$$

Додайте 3y до обох сторін цього рівняння.

$$2x=3y-10$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Помножте \frac{1}{2} на 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Підставте \frac{3y}{2}-5 замість x в іншому рівнянні: 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Помножте 5 на \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Додайте \frac{15y}{2} до -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Додайте -25 до 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Додайте 21 до обох сторін цього рівняння.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Розділіть обидві сторони рівняння на \frac{13}{2}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$y=\frac{42}{13}$$

Підставте \frac{42}{13} замість y у рівняння x=\frac{3}{2}y-5. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Щоб помножити \frac{3}{2} на \frac{42}{13}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Додайте -5 до \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Систему розв’язано.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Щоб отримати рівність між 2x і 5x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на 5, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Виконайте спрощення.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Знайдіть різницю 10x-2y+8=0 і 10x-15y+50=0. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Додайте 10x до -10x. Члени 10x та -10x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Додайте -15y до 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Додайте 50 до -8.

$$-13y+42=0$$

Відніміть 42 від обох сторін цього рівняння.

$$-13y=-42$$

Розділіть обидві сторони на -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

Підставте \frac{42}{13} замість y у рівняння 5x-y+4=0. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Додайте -\frac{42}{13} до 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Відніміть \frac{10}{13} від обох сторін цього рівняння.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Систему розв’язано.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$