Розв'яжіть 2x(1-x)+1-x<0

$$2 x ( 1 - x ) + 1 - x < 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup \left(1,\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x на 1-x.

$$2x-2x^{2}+1-x<0$$

Додайте 2x до -x, щоб отримати x.

$$x-2x^{2}+1<0$$

Помножте нерівність на -1, щоб коефіцієнт при найвищому ступені в x-2x^{2}+1 був додатний. Оскільки -1 від'ємне, нерівність напрямок.

$$-x+2x^{2}-1>0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$-x+2x^{2}-1=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 2 на a, -1 – на b, а -1 – на c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{1±3}{4}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{1±3}{4} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$2\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, x-1 і x+\frac{1}{2} мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли x-1 і x+\frac{1}{2} від’ємні.

$$x-1<0 x+\frac{1}{2}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x<-\frac{1}{2}.

$$x<-\frac{1}{2}$$

Розглянемо випадок, коли x-1 і x+\frac{1}{2} додатні.

$$x+\frac{1}{2}>0 x-1>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x>1.

$$x>1$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x<-\frac{1}{2}\text{; }x>1$$