Розв'яжіть 2x^4-7x^3-7x^2+35x-15=0

$$2 x ^ { 4 } - 7 x ^ { 3 } - 7 x ^ { 2 } + 35 x - 15 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\sqrt{5}\approx 2,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}\approx -2,236067977$$

$$x=3$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Покрокове розв’язання

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -15, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 2. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±\frac{15}{2},±15,±\frac{5}{2},±5,±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{2},±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=3$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть 2x^{4}-7x^{3}-7x^{2}+35x-15 на x-3, щоб отримати 2x^{3}-x^{2}-10x+5. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$2x^{3}-x^{2}-10x+5=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 5, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 2. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{2},±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=\frac{1}{2}$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть 2x^{3}-x^{2}-10x+5 на 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1, щоб отримати x^{2}-5. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{2}-5=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 0 – на b, а -5 – на c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{0±2\sqrt{5}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x^{2}-5=0 для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=-\sqrt{5} x=\sqrt{5}$$

Список усіх знайдених рішень.

$$x=3 x=\frac{1}{2} x=-\sqrt{5} x=\sqrt{5}$$