Розв'яжіть 2x^2-x-1<0

$$2 x ^ { 2 } - x - 1 < 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-x-1=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 2 на a, -1 – на b, а -1 – на c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{1±3}{4}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{1±3}{4} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$2\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-1 і x+\frac{1}{2} мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-1 має додатне значення, а x+\frac{1}{2} – від’ємне.

$$x-1>0 x+\frac{1}{2}<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x+\frac{1}{2} має додатне значення, а x-1 – від’ємне.

$$x+\frac{1}{2}>0 x-1<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(-\frac{1}{2},1\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$