Розв'яжіть 2x^2-9x+5=0

$$2 x ^ { 2 } - 9 x + 5 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 9}{4} \approx 3,850781059$$

$$x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}\approx 0,649218941$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}-9x+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -9 замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Піднесіть -9 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 5}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-40}}{2\times 2}$$

Додайте 81 до -40.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -9, дорівнює 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{9±\sqrt{41}}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{9±\sqrt{41}}{4} за додатного значення ±. Додайте 9 до \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{9±\sqrt{41}}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{41} від 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-9x+5=0$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}-9x+5-5=-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}-9x=-5$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Поділіть -\frac{9}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{9}{4}. Потім додайте -\frac{9}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{9}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{81}{16}$$

Щоб додати -\frac{5}{2} до \frac{81}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{41}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

Додайте \frac{9}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$