Розв'яжіть 2x^2-6>-3x

$$2 x ^ { 2 } - 6 > - 3 x$$

Знайти x

$$x\in \left(-\infty,\frac{-\sqrt{57}-3}{4}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{57}-3}{4},\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Додайте 3x до обох сторін.

$$2x^{2}-6+3x>0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-6+3x=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 2 на a, 3 – на b, а -6 – на c.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-6\right)}}{2\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-3±\sqrt{57}}{4}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±\sqrt{57}}{4} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{\sqrt{57}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{57}-3}{4}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{57}-3}{4}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{57}-3}{4}\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, x-\frac{\sqrt{57}-3}{4} і x-\frac{-\sqrt{57}-3}{4} мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли x-\frac{\sqrt{57}-3}{4} і x-\frac{-\sqrt{57}-3}{4} від’ємні.

$$x-\frac{\sqrt{57}-3}{4}<0 x-\frac{-\sqrt{57}-3}{4}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x<\frac{-\sqrt{57}-3}{4}.

$$x<\frac{-\sqrt{57}-3}{4}$$

Розглянемо випадок, коли x-\frac{\sqrt{57}-3}{4} і x-\frac{-\sqrt{57}-3}{4} додатні.

$$x-\frac{-\sqrt{57}-3}{4}>0 x-\frac{\sqrt{57}-3}{4}>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x>\frac{\sqrt{57}-3}{4}.

$$x>\frac{\sqrt{57}-3}{4}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x<\frac{-\sqrt{57}-3}{4}\text{; }x>\frac{\sqrt{57}-3}{4}$$