Розв'яжіть 2x^2-5x-9=0

$$2 x ^ { 2 } - 5 x - 9 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 5}{4} \approx 3,71221445$$

$$x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}\approx -1,21221445$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}-5x-9=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -5 замість b і -9 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+72}}{2\times 2}$$

Додайте 25 до 72.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{97}}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{97}}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{5±\sqrt{97}}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{97}}{4} за додатного значення ±. Додайте 5 до \sqrt{97}.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{97}}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{97} від 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x-9=0$$

Додайте 9 до обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}-5x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Якщо відняти -9 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}-5x=-\left(-9\right)$$

Відніміть -9 від 0.

$$2x^{2}-5x=9$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{9}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{9}{2}$$

Поділіть -\frac{5}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{4}. Потім додайте -\frac{5}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{9}{2}+\frac{25}{16}$$

Щоб додати \frac{9}{2} до \frac{25}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{97}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{97}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{97}}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{97}}{4}$$

Додайте \frac{5}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}$$