Розв'яжіть 2x^2-3x-14=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 14 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-2$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 2x^{2}+ax+bx-14. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -3.

$$a=-7 b=4$$

Перепишіть 2x^{2}-3x-14 як \left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right)$$

Винесіть за дужки x в першій і 2 у другій групі.

$$x\left(2x-7\right)+2\left(2x-7\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-7, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-7\right)\left(x+2\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть 2x-7=0 і x+2=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -3 замість b і -14 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть -3 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -14.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

Додайте 9 до 112.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 121.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±11}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -3, дорівнює 3.

$$x=\frac{3±11}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{3±11}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{3±11}{4} за додатного значення ±. Додайте 3 до 11.

$$x=\frac{14}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{14}{4} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{7}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{3±11}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 11 від 3.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Розділіть -8 на 4.

$$x=-2$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Додайте 14 до обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}-3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Якщо відняти -14 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}-3x=-\left(-14\right)$$

Відніміть -14 від 0.

$$2x^{2}-3x=14$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{14}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

Розділіть 14 на 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=7$$

Поділіть -\frac{3}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{4}. Потім додайте -\frac{3}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Додайте 7 до \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Додайте \frac{3}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$