Розв'яжіть 2x^2-24x+54=0

$$2 x ^ { 2 } - 24 x + 54 = 0$$

Знайдіть x

$$x=3$$

$$x=9$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Розділіть обидві сторони на 2.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді x^{2}+ax+bx+27. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-12 ab=1\times 27=27$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 27.

$$-1,-27 -3,-9$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -12.

$$a=-9 b=-3$$

Перепишіть x^{2}-12x+27 як \left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right)$$

x на першій та -3 в друге групу.

$$x\left(x-9\right)-3\left(x-9\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-9, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-9=0 та x-3=0.

$$x=9 x=3$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -24 замість b і 54 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Піднесіть -24 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 54}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 54.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 2}$$

Додайте 576 до -432.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 144.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -24, дорівнює 24.

$$x=\frac{24±12}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{24±12}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{24±12}{4} за додатного значення ±. Додайте 24 до 12.

$$x=\frac{36}{4}$$

Розділіть 36 на 4.

$$x=9$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{24±12}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 12 від 24.

$$x=\frac{12}{4}$$

Розділіть 12 на 4.

$$x=3$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=9 x=3$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Відніміть 54 від обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}-24x+54-54=-54$$

Якщо відняти 54 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}-24x=-54$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{54}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{54}{2}$$

Розділіть -24 на 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{54}{2}$$

Розділіть -54 на 2.

$$x^{2}-12x=-27$$

Поділіть -12 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -6. Потім додайте -6 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-27+\left(-6\right)^{2}$$

Піднесіть -6 до квадрата.

$$x^{2}-12x+36=-27+36$$

Додайте -27 до 36.

$$x^{2}-12x+36=9$$

Розкладіть x^{2}-12x+36 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=9$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Виконайте спрощення.

$$x-6=3 x-6=-3$$

Додайте 6 до обох сторін цього рівняння.

$$x=9 x=3$$